Proportional: das Doppelte zum Doppelten
Bei einer proportionalen Zuordnung gehört zum doppelten x das doppelte y. Der Quotient y : x bleibt gleich.
Das lernst du heute
- Ich erkenne proportionale Zuordnungen in Tabellen.
- Ich bestimme den Proportionalitätsfaktor und den Term.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Zusammenhänge in Tabellen, Der Dreisatz
Äpfel kosten 2 € pro kg. 1 kg kostet 2 €, 2 kg kosten 4 €, 3 kg kosten 6 €. Verdoppelst du die Menge, verdoppelt sich der Preis. Halbierst du die Menge, halbiert sich der Preis. Eine solche Zuordnung heißt proportional. Teilst du in jeder Spalte y durch x, erhältst du immer dieselbe Zahl: 2 : 1 = 4 : 2 = 6 : 3 = 2. Diese Zahl heißt Proportionalitätsfaktor k. Der Term lautet y = k · x, hier y = 2 · x. Nicht jede Zuordnung ist proportional: Wird ein Kind doppelt so alt, ist es nicht doppelt so groß.
| x (kg) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| y (€) | 2 | 4 | 6 | 8 |
| y : x | 2 | 2 | 2 | 2 |
Proportional prüfen
- Aufgabe: x: 2, 4, 6 und y: 5, 10, 15. Ist die Zuordnung proportional?
- Rechne y : x: 5 : 2 = 2,5, 10 : 4 = 2,5, 15 : 6 = 2,5.
- Der Quotient ist immer 2,5. Die Zuordnung ist proportional.
- Term: y = 2,5 · x.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Doppelt so viel x, doppelt so viel y.
Der Quotient y durch x bleibt gleich.
Term: y = k · x.
Ein Beispiel
Du tankst 2 l Benzin für 4 €. 4 l kosten 8 €, 6 l kosten 12 €. Der Preis je Liter bleibt 2 €. Das ist eine proportionale Zuordnung.
Schritt für Schritt
Wir bestimmen den Term einer Tabelle
- Aufgabe: x: 1, 2, 3 und y: 2,5, 5, 7,5. Finde den Term.
- Rechne y : x. 2,5 : 1 = 2,5, 5 : 2 = 2,5, 7,5 : 3 = 2,5.
- k = 2,5.
- Term: y = 2,5 · x.
Mit einem Bild erklärt
| x | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| y | 2,5 | 5 | 7,5 |
| y : x | 2,5 | 2,5 | 2,5 |
Zur Grundlage zurück
- Zusammenhänge in Tabellen – Tabellen für Zuordnungen kennst du schon.
- Der Dreisatz – Der Dreisatz nutzt dieselbe Idee.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
x: 2, 4, 6 und y: 5, 10, 15. Wie groß ist der Proportionalitätsfaktor k? (Dezimalzahl)
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne 5 : 2.
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Lösung: 2,5
5 : 2 = 2,5, 10 : 4 = 2,5, 15 : 6 = 2,5.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Es gilt y = 4 · x. Welcher y-Wert gehört zu x = 5?
Zeig mir den ersten Schritt
Setze 5 für x ein.
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Lösung: 20
4 · 5 = 20.
Tipp: Es genügt nicht, dass die Zahlen wachsen. Prüfe immer den Quotienten y : x. Er muss in jeder Spalte gleich sein.
Merksatz: Proportional: Quotient y : x ist konstant (Proportionalitätsfaktor k). Term y = k · x. Doppeltes x gehört zu doppeltem y.
Typischer Fehler: Viele denken: Wenn y mit x wächst, ist es proportional. Bei Alter 5 → 110 cm und 10 → 140 cm wächst y, aber 110 : 5 = 22 und 140 : 10 = 14. Das ist nicht proportional.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
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Lösung: x: 1, 2, 3 / y: 4, 8, 12
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Lösung: Stimmt
Frage 3 Eine Kerze brennt in 2 Stunden 3 cm ab (proportional). Wie viele Zentimeter brennt sie in 6 Stunden ab?
Zeig mir den ersten Schritt
6 Stunden sind das Dreifache von 2 Stunden.
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Lösung: 9
3 · 3 cm = 9 cm.
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Lösung: y = 2,5 · x
Frage 5 Ein Auto verbraucht 6 l auf 100 km (proportional). Wie viele Liter sind es auf 200 km?
Zeig mir den ersten Schritt
200 km sind das Doppelte von 100 km.
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Lösung: 12
2 · 6 l = 12 l.
Geschafft
Du erkennst proportionale Zuordnungen mit dem Quotienten und stellst den Term auf.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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