Das Waage-Prinzip
Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht. Was du auf einer Seite machst, machst du auch auf der anderen.
Das lernst du heute
- Ich erkläre das Waage-Prinzip.
- Ich löse Gleichungen mit einer Umkehrrechnung.
- Ich schreibe den Umformungsschritt neben die Gleichung.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Rechenanweisungen umkehren
Stell dir eine Waage vor. Links liegt x + 5, rechts liegt 12. Sie ist im Gleichgewicht. Nimmst du links 5 weg, musst du rechts auch 5 wegnehmen. Dann bleibt sie im Gleichgewicht: x = 7. Das nennt man eine Äquivalenzumformung. Auf beiden Seiten machst du dasselbe: addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren. Den Schritt schreibst du rechts mit einem Strich auf, zum Beispiel | − 5. Immer wählst du die Umkehrrechnung: Plus wird mit Minus aufgehoben, Mal mit Geteilt.
| Gleichung | Schritt | Ergebnis |
|---|---|---|
| x + 5 = 12 | | − 5 | x = 7 |
| x − 4 = 9 | | + 4 | x = 13 |
| 3x = 15 | | : 3 | x = 5 |
| x : 2 = 6 | | · 2 | x = 12 |
Mit dem Waage-Prinzip lösen
- Gleichung: x + 5 = 12.
- Das x steht mit + 5. Die Umkehrung ist − 5.
- Beide Seiten: x + 5 − 5 = 12 − 5.
- Das ergibt x = 7.
- Probe: 7 + 5 = 12. Das stimmt.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Die Gleichung ist eine Waage.
Tue auf beiden Seiten dasselbe.
So bleibt sie im Gleichgewicht.
Ein Beispiel
Du hast links x Murmeln und 5 dazu. Rechts liegen 12 Murmeln. Nimmst du links 5 weg, nimmst du rechts auch 5 weg. Übrig: x = 7.
Schritt für Schritt
Wir lösen 3x = 15
- Auf der linken Seite steht 3 · x.
- Die Umkehrung von Mal ist Geteilt.
- Teile beide Seiten durch 3: 3x : 3 = 15 : 3.
- x = 5.
- Probe: 3 · 5 = 15.
Mit einem Bild erklärt
| Links | Rechts | Schritt |
|---|---|---|
| 3x | 15 | |
| x | 5 | | : 3 |
Zur Grundlage zurück
- Rechenanweisungen umkehren – Die Umkehrung kennst du schon.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Löse x + 5 = 12 mit | − 5.
Zeig mir den ersten Schritt
Subtrahiere auf beiden Seiten 5.
Lösung ansehen
Lösung: 7
12 − 5 = 7. Probe: 7 + 5 = 12.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Löse 3x = 15 mit | : 3.
Zeig mir den ersten Schritt
Teile beide Seiten durch 3.
Lösung ansehen
Lösung: 5
15 : 3 = 5. Probe: 3 · 5 = 15.
Tipp: Schreibe den Schritt hinter jede Zeile. So siehst du immer, was du gemacht hast.
Merksatz: Auf beiden Seiten dasselbe tun. Plus mit Minus aufheben, Mal mit Geteilt.
Typischer Fehler: Viele rechnen nur auf einer Seite. Aus x + 5 = 12 wird dann x = 12 und das ist falsch. Die 5 muss auf beiden Seiten weg.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: | + 4
Frage 2 Löse x − 4 = 9.
Zeig mir den ersten Schritt
Addiere 4 auf beiden Seiten.
Lösung ansehen
Lösung: 13
9 + 4 = 13. Probe: 13 − 4 = 9.
Frage 3 Löse x : 2 = 6.
Zeig mir den ersten Schritt
Die Umkehrung von : 2 ist · 2.
Lösung ansehen
Lösung: 12
6 · 2 = 12. Probe: 12 : 2 = 6.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Lösung ansehen
Lösung: geteilt durch 4
Geschafft
Du löst einfache Gleichungen mit dem Waage-Prinzip.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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