Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Am Einheitskreis gelten Sinus und Kosinus auch für Winkel über 90°. Sie sind die Koordinaten eines Punktes auf dem Kreis.
Das lernst du heute
- Ich beschreibe den Einheitskreis.
- Ich lese sin und cos als Koordinaten eines Kreispunktes.
- Ich gebe Werte für Sonderwinkel an.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Periodische Vorgänge im Alltag, Radius, Durchmesser, Umfang
Der Einheitskreis ist ein Kreis um den Ursprung (0|0) mit dem Radius 1. Wir wählen einen Winkel φ (sprich: phi). Er beginnt an der positiven x-Achse und wird gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Sein Schenkel trifft den Kreis im Punkt P.
Fälle ein Lot von P auf die x-Achse. Das heißt: Zeichne von P aus eine Senkrechte zur x-Achse. So entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse 1. Dann ist sin φ = Gegenkathete : 1, also die y-Koordinate von P. Und cos φ = Ankathete : 1, also die x-Koordinate von P. Das ist deine bekannte Definition. Sie passt nur für Winkel zwischen 0° und 90°.
Der Einheitskreis erweitert sie auf alle Winkel: Der Punkt hat die Koordinaten P(cos φ | sin φ). Für φ über 90° sind die Werte teils negativ. So gilt sin 180° = 0 und cos 180° = −1.
Werte am Einheitskreis ablesen
- φ = 90°: Der Punkt liegt ganz oben, P(0|1). Also sin 90° = 1 und cos 90° = 0.
- φ = 180°: Der Punkt liegt ganz links, P(−1|0). Also sin 180° = 0 und cos 180° = −1.
- φ = 270°: Der Punkt liegt ganz unten, P(0|−1). Also sin 270° = −1 und cos 270° = 0.
- φ = 360°: Der Punkt ist wieder bei P(1|0). Also sin 360° = 0 und cos 360° = 1.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Ein Kreis hat den Radius 1.
Der Punkt P wandert um den Kreis.
Seine Höhe ist sin φ. Seine Lage links oder rechts ist cos φ.
Ein Beispiel
Stell dir ein Rad mit dem Radius 1 m vor. Die Mitte ist der Ursprung. Ein Punkt am Rand ist bei 90° ganz oben. Seine Höhe über der Mitte ist 1 m, also ist sin 90° = 1.
Schritt für Schritt
Wir lesen sin und cos bei 270° ab
- Bei 270° liegt der Punkt P ganz unten auf dem Kreis.
- Die Koordinaten sind P(0|−1).
- Die y-Koordinate ist sin 270° = −1.
- Die x-Koordinate ist cos 270° = 0.
Mit einem Bild erklärt
| φ | 0° | 30° | 60° | 90° | 120° | 150° | 180° | 210° | 240° | 270° | 300° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin φ | 0 | 0,5 | 0,866 | 1 | 0,866 | 0,5 | 0 | −0,5 | −0,866 | −1 | −0,866 | −0,5 | 0 |
| cos φ | 1 | 0,866 | 0,5 | 0 | −0,5 | −0,866 | −1 | −0,866 | −0,5 | 0 | 0,5 | 0,866 | 1 |
Zur Grundlage zurück
- Periodische Vorgänge im Alltag – Periodische Vorgänge beschreibst du gleich mit diesen Werten.
- Radius, Durchmesser, Umfang – Den Kreis kennst du von dort.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Wie groß ist sin 90°?
Zeig mir den ersten Schritt
Bei 90° liegt der Punkt ganz oben. P(0|1).
Lösung ansehen
Lösung: 1
Die y-Koordinate ist 1.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Wie groß ist cos 180°?
Zeig mir den ersten Schritt
Bei 180° liegt der Punkt ganz links. P(−1|0).
Lösung ansehen
Lösung: -1
Die x-Koordinate ist −1.
Tipp: Der Sinus ist die Höhe des Punktes, der Kosinus seine Lage nach rechts oder links.
Merksatz: Am Einheitskreis (Radius 1) gilt P(cos φ | sin φ). sin φ ist die y-Koordinate, cos φ die x-Koordinate von P.
Typischer Fehler: Viele vertauschen die Koordinaten und meinen P(sin φ | cos φ). Richtig ist P(cos φ | sin φ). Der Kosinus steht zuerst, denn er ist die x-Koordinate.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Wie groß ist sin 270°?
Zeig mir den ersten Schritt
Bei 270° liegt der Punkt ganz unten.
Lösung ansehen
Lösung: -1
Die y-Koordinate von P(0|−1) ist −1.
Lösung ansehen
Lösung: P(cos φ | sin φ)
Lösung ansehen
Lösung: 0,5
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
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Lösung: 90°
Geschafft
Am Einheitskreis sind sin φ und cos φ die y- und die x-Koordinate des Punktes P. Dadurch gelten sie für alle Winkel.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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