Wachsen mit festem Faktor
Manche Größen wachsen nicht um dieselbe Zahl, sondern mit demselben Faktor. Dann steigen die Werte immer schneller.
Das lernst du heute
- Ich erkenne Wachstum mit festem Faktor.
- Ich berechne Werte mit Startwert und Faktor.
- Ich unterscheide es von gleichmäßigem (linearem) Wachstum.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Der Wachstumsfaktor bei Zunahme, Potenzen: Basis und Exponent
Ein Beispiel (ausgedacht): Auf einem Teich wächst eine Algenschicht. Heute sind es 1 m². Jeden Tag verdoppelt sich die Fläche. Sie wird also mit 2 multipliziert.
Tag 0: 1 m², Tag 1: 2 m², Tag 2: 4 m², Tag 3: 8 m², Tag 4: 16 m².
Die Zahl, mit der du immer multiplizierst, heißt Wachstumsfaktor. Hier ist er 2.
Vergleiche mit gleichmäßigem (linearem) Wachstum: Dort kommt immer dieselbe Zahl dazu, zum Beispiel +2. Die Werte sind 1, 3, 5, 7, 9. Beim Wachstum mit festem Faktor wird immer mit derselben Zahl multipliziert: 1, 2, 4, 8, 16.
Nach t Schritten steht der Faktor t-mal im Produkt. Es gilt: Wert = Startwert · Faktor hoch t. Nach 4 Tagen sind es 1 · 2⁴ = 16 m².
| Tag | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Fläche, verdoppelt sich (m²) | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 |
| Fläche, immer +2 (m²) | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
Schimmel auf Brot (ausgedachte Zahlen)
- Start: 5 cm². Jeden Tag wird die Fläche 3-mal so groß.
- Nach 1 Tag: 5 · 3 = 15 cm².
- Nach 2 Tagen: 15 · 3 = 45 cm².
- Nach 4 Tagen: 5 · 3⁴. Erst 3⁴ = 81, dann 5 · 81 = 405.
- Antwort: Nach 4 Tagen sind es 405 cm².
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Jedes Mal mal dieselbe Zahl.
1, 2, 4, 8, 16: immer mal 2.
Nach 4 Schritten: 1 · 2 · 2 · 2 · 2 = 16.
Ein Beispiel
Du faltest ein Blatt Papier. Jede Faltung verdoppelt die Zahl der Lagen: 1, 2, 4, 8, 16. Nach 4 Faltungen sind es 2⁴ = 16 Lagen.
Schritt für Schritt
Wir berechnen 2 · 3³
- Start 2, Faktor 3, drei Schritte.
- Schritt 1: 2 · 3 = 6.
- Schritt 2: 6 · 3 = 18.
- Schritt 3: 18 · 3 = 54.
- Kurz: 2 · 3³ = 2 · 27 = 54.
Mit einem Bild erklärt
Zur Grundlage zurück
- Der Wachstumsfaktor bei Zunahme – Den Wachstumsfaktor kennst du aus der Prozentrechnung.
- Potenzen: Basis und Exponent – Du brauchst Potenzen.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Eine Algenfläche ist 3 m² groß und verdoppelt sich jeden Tag. Wie groß ist sie nach 3 Tagen? Gib die Fläche in m² an.
Zeig mir den ersten Schritt
3 · 2 = 6. Dann zweimal weiter mal 2.
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Lösung: 24
3 · 2³ = 3 · 8 = 24 m².
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Eine Fläche ist 2 m² groß und wird jeden Tag 3-mal so groß. Wie groß ist sie nach 3 Tagen? Gib die Fläche in m² an.
Zeig mir den ersten Schritt
Der Faktor ist 3. Rechne 2 · 3, dann · 3, dann · 3.
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Lösung: 54
2 · 3³ = 2 · 27 = 54 m².
Tipp: Rechne zuerst die Potenz und dann das Mal mit dem Startwert. Prüfe das Ergebnis an einer kleinen Tabelle.
Merksatz: Wachstum mit festem Faktor: Wert = Startwert · Faktor hoch t. Der Faktor wird bei jedem Schritt multipliziert, nicht addiert.
Typischer Fehler: Viele rechnen 5 · 3⁴ als (5 · 3)⁴ oder als 5 · 3 · 4. Der Exponent gehört nur zum Faktor 3. Rechne also erst 3⁴ = 81 und dann 5 · 81.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: 3, 6, 12, 24
Frage 2 Ein Wert beginnt bei 100 und wird bei jedem Schritt verdoppelt. Wie groß ist er nach 4 Schritten?
Zeig mir den ersten Schritt
100 · 2 · 2 · 2 · 2 oder 100 · 2⁴.
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Lösung: 1600
100 · 16 = 1 600.
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Lösung: 3
Frage 4 Ein Wert beginnt bei 4 und wird bei jedem Schritt mit 5 multipliziert. Wie groß ist er nach 3 Schritten?
Zeig mir den ersten Schritt
4 · 5 · 5 · 5 oder 4 · 5³.
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Lösung: 500
4 · 125 = 500.
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Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Beim Wachstum mit festem Faktor wird bei jedem Schritt mit derselben Zahl multipliziert. Der Wert ist Startwert mal Faktor hoch t.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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