Kongruente Dreiecke und die Kongruenzsätze
Du erkennst, wann zwei Dreiecke gleich sind, und nutzt vier Kongruenzsätze.
Das lernst du heute
- Ich erkläre, was kongruent bedeutet.
- Ich nenne die Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW und SsW.
- Ich begründe, wann ein Dreieck durch gegebene Stücke eindeutig festgelegt ist.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Dreieck aus drei Seiten, Eindeutig, mehrdeutig oder unmöglich?
Zwei Figuren sind kongruent, wenn du sie durch Verschieben, Drehen und Spiegeln genau aufeinanderlegen kannst. Kongruente Dreiecke haben gleich lange Seiten und gleich große Winkel. Du musst nicht alle sechs Stücke vergleichen. Vier Kongruenzsätze genügen. SSS: Drei Seiten stimmen überein. SWS: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen überein. WSW: Eine Seite und die beiden anliegenden Winkel stimmen überein. SsW: Zwei Seiten und der Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt, stimmen überein. Stimmen nur die drei Winkel überein, sind die Dreiecke nicht unbedingt kongruent. Sie sind dann nur gleich geformt, aber vielleicht verschieden groß.
| Satz | Gegeben | Beispiel |
|---|---|---|
| SSS | drei Seiten | 3 cm, 4 cm, 5 cm |
| SWS | zwei Seiten und der Winkel dazwischen | a = 5 cm, b = 6 cm, γ = 40° |
| WSW | eine Seite und die beiden anliegenden Winkel | c = 6 cm, α = 50°, β = 70° |
| SsW | zwei Seiten und der Winkel gegenüber der längeren Seite | a = 5 cm, b = 3 cm, α = 30° |
Welcher Satz passt?
- Aufgabe: Im Dreieck ABC ist c = 6 cm, α = 50° und β = 70°. Im Dreieck DEF ist f = 6 cm, δ = 50° und ε = 70°. Sind die Dreiecke kongruent?
- Die Seite c liegt zwischen den Winkeln α und β. Die Seite f liegt zwischen δ und ε.
- Eine Seite und die beiden anliegenden Winkel stimmen überein: WSW.
- Die Dreiecke sind kongruent. Auch der dritte Winkel ist gleich: 180° − 50° − 70° = 60°.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Kongruent heißt deckungsgleich.
Vier Sätze: SSS, SWS, WSW, SsW.
Winkel allein genügen nicht.
Ein Beispiel
Zwei Dachträger werden nach derselben Zeichnung gebaut: gleiche Seiten und gleiche Winkel. Sie passen aufeinander. Das sind kongruente Dreiecke.
Schritt für Schritt
Zwei Dreiecke vergleichen
- Schreibe auf, welche Stücke in beiden Dreiecken bekannt sind.
- Prüfe, ob sie zu SSS, SWS, WSW oder SsW passen.
- Bei SWS muss der Winkel zwischen den Seiten liegen. Bei WSW muss die Seite zwischen den Winkeln liegen.
- Bei SsW muss der Winkel der längeren Seite gegenüberliegen.
Mit einem Bild erklärt
| Dreieck 1 | Dreieck 2 | Satz |
|---|---|---|
| 3 cm, 4 cm, 5 cm | 5 cm, 3 cm, 4 cm | SSS |
| a = 5 cm, b = 6 cm, γ = 40° | a = 5 cm, b = 6 cm, γ = 40° | SWS |
| c = 6 cm, α = 50°, β = 70° | f = 6 cm, δ = 50°, ε = 70° | WSW |
Zur Grundlage zurück
- Dreieck aus drei Seiten – Du hast Dreiecke aus gegebenen Stücken konstruiert.
- Eindeutig, mehrdeutig oder unmöglich? – Dort hast du gesehen, wann ein Dreieck eindeutig ist.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Zeig mir den ersten Schritt
Zähle, welche Stücke gegeben sind.
Lösung ansehen
Lösung: SSS
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Im Dreieck ABC ist c = 6 cm, α = 50° und β = 70°. Wie groß ist γ in Grad?
Zeig mir den ersten Schritt
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°.
Lösung ansehen
Lösung: 60
180° − 50° − 70° = 60°.
Tipp: Beim Konstruieren gilt: Wenn die Angaben genau ein Dreieck ergeben, sind alle Dreiecke mit diesen Angaben kongruent. Das ist der Grund, warum die Kongruenzsätze funktionieren.
Merksatz: Kongruent heißt deckungsgleich. Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW und SsW (der Winkel liegt der längeren der beiden Seiten gegenüber).
Typischer Fehler: Viele halten Dreiecke mit gleichen Winkeln für kongruent. Drei gleiche Winkel genügen nicht. Ein kleines und ein großes Dreieck können dieselben Winkel haben.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Zeig mir den ersten Schritt
Denke an ein verkleinertes Foto.
Lösung ansehen
Lösung: Nein, sie können verschieden groß sein.
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Lösung: SWS
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Lösung: Stimmt
Frage 4 Ein Dreieck hat a = 3 cm, b = 5 cm und α = 30°. Wie viele verschiedene Dreiecke gibt es mit diesen Angaben?
Zeig mir den ersten Schritt
Der Winkel α liegt der kürzeren Seite a gegenüber. Der Kreisbogen um C mit Radius a schneidet den Schenkel zweimal.
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Lösung: 2
β kann etwa 56,4° oder etwa 123,6° sein. Es gibt zwei Dreiecke. SsW gilt nur, wenn der Winkel der längeren Seite gegenüberliegt.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Geschafft
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in SSS, SWS, WSW oder SsW übereinstimmen. Drei gleiche Winkel genügen nicht.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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