Der Graph der Sinusfunktion
Trägst du sin x gegen den Winkel x auf, entsteht eine Wellenlinie. Sie wiederholt sich alle 360°.
Das lernst du heute
- Ich beschreibe den Graphen von f(x) = sin x.
- Ich nenne Periode, Höchst- und Tiefstwert, Nullstellen.
- Ich berechne Werte über 360° hinaus.
- Ich vergleiche den Graphen von f(x) = cos x mit der Sinuskurve.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Sinus und Kosinus am Einheitskreis, Die Normalparabel y = x²
Die Sinusfunktion ordnet jedem Winkel x den Wert sin x zu: f(x) = sin x. Hier schreiben wir den Winkel x in Grad. Die Werte aus der Tabelle der letzten Lektion ergeben einen Graphen.
Der Graph sieht aus wie eine Welle. Er beginnt bei (0°|0), steigt bis zum Hochpunkt (90°|1), sinkt über (180°|0) bis zum Tiefpunkt (270°|−1) und kehrt bei (360°|0) zum Anfang zurück. Danach wiederholt er sich.
Alle Funktionswerte liegen zwischen −1 und 1. Die Periode ist 360°. Es gilt also sin(x + 360°) = sin x. Die Nullstellen liegen bei 0°, 180°, 360° und so weiter.
| x | 0° | 30° | 60° | 90° | 120° | 150° | 180° | 210° | 240° | 270° | 300° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin x | 0 | 0,5 | 0,866 | 1 | 0,866 | 0,5 | 0 | −0,5 | −0,866 | −1 | −0,866 | −0,5 | 0 |
Werte über 360° hinaus
- Gesucht ist sin 450°.
- 450° − 360° = 90°.
- sin 450° = sin 90° = 1.
- Gesucht ist sin 570°: 570° − 360° = 210°.
- sin 570° = sin 210° = −0,5.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Der Graph ist eine Welle.
Er geht hoch bis 1 und runter bis −1.
Nach 360° beginnt er von vorn.
Ein Beispiel
Den Ton einer Stimmgabel beschreibt man gut mit einer Sinuswelle. Die Luft ist abwechselnd dichter und dünner. Das wiederholt sich gleichmäßig.
Schritt für Schritt
Wir bestimmen sin 810°
- Die Periode ist 360°.
- 810° − 2 · 360° = 810° − 720° = 90°.
- sin 810° = sin 90° = 1.
Mit einem Bild erklärt
| Winkel | Rechnung | wie bei |
|---|---|---|
| 810° | 810° − 720° | 90° |
| Wert | sin 90° = 1 |
Zur Grundlage zurück
- Sinus und Kosinus am Einheitskreis – Die Werte stammen vom Einheitskreis.
- Die Normalparabel y = x² – Wertetabellen und Graphen kennst du von dort.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Wie groß ist sin 450°?
Zeig mir den ersten Schritt
Ziehe 360° ab.
Lösung ansehen
Lösung: 1
450° − 360° = 90°. sin 90° = 1.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Wie groß ist sin 540°?
Zeig mir den ersten Schritt
Ziehe 360° ab.
Lösung ansehen
Lösung: 0
540° − 360° = 180°. sin 180° = 0.
Der Graph von f(x) = cos x: Am Einheitskreis ist cos x die x-Koordinate des Punktes P. Diese Werte trägst du wieder gegen den Winkel x auf. Auch so entsteht eine Welle.
Sie beginnt aber oben, beim Hochpunkt (0°|1). Sie sinkt über die Nullstelle (90°|0) bis zum Tiefpunkt (180°|−1). Dann steigt sie über die Nullstelle (270°|0) wieder bis (360°|1).
Vergleich mit der Sinuskurve: Die Form ist gleich. Die Periode ist 360°, alle Werte liegen zwischen −1 und 1. Die Kosinuskurve ist aber um 90° nach links verschoben. Es gilt cos x = sin(x + 90°). Beispiel: cos 0° = sin 90° = 1.
| x | 0° | 30° | 60° | 90° | 120° | 150° | 180° | 210° | 240° | 270° | 300° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin x | 0 | 0,5 | 0,866 | 1 | 0,866 | 0,5 | 0 | −0,5 | −0,866 | −1 | −0,866 | −0,5 | 0 |
| cos x | 1 | 0,866 | 0,5 | 0 | −0,5 | −0,866 | −1 | −0,866 | −0,5 | 0 | 0,5 | 0,866 | 1 |
Jetzt du: Der Graph von cos x
Jetzt probierst du es allein.
Frage 1 Lies am Einheitskreis ab: Wie groß ist cos 240°?
Zeig mir den ersten Schritt
Bei 240° liegt P links unten. Ist die x-Koordinate positiv oder negativ?
Lösung ansehen
Lösung: -0,5
240° = 180° + 60°. P liegt links unten. Die x-Koordinate ist −cos 60° = −0,5.
Zeig mir den ersten Schritt
Wo auf dem Einheitskreis ist die x-Koordinate am kleinsten?
Lösung ansehen
Lösung: bei 180°
Zeig mir den ersten Schritt
Vergleiche, wo die Hochpunkte liegen: bei sin x bei 90°, bei cos x bei 0°.
Lösung ansehen
Lösung: Sie ist um 90° nach links verschoben.
Frage 4 Wie groß ist cos 420°?
Zeig mir den ersten Schritt
Auch cos x hat die Periode 360°. Ziehe 360° ab.
Lösung ansehen
Lösung: 0,5
420° − 360° = 60°. cos 60° = 0,5.
Tipp: Ziehe so oft 360° ab, bis der Winkel zwischen 0° und 360° liegt.
Merksatz: f(x) = sin x hat die Periode 360°, Höchstwert 1 und Tiefstwert −1. Die Nullstellen liegen bei 0°, 180°, 360° …
Typischer Fehler: Viele denken, der Graph steige immer weiter. Das stimmt nicht. Er schwingt zwischen −1 und 1 und wiederholt sich alle 360°.
Mini-Quiz
6 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: bei 270°
Frage 2 Wie groß ist der größte Funktionswert von f(x) = sin x?
Zeig mir den ersten Schritt
Schau in die Tabelle. Welcher Wert ist am größten?
Lösung ansehen
Lösung: 1
Der größte Wert ist 1, bei 90°.
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Lösung: Stimmt nicht
Frage 4 Wie groß ist sin 810°?
Zeig mir den ersten Schritt
Ziehe 2 · 360° = 720° ab.
Lösung ansehen
Lösung: 1
810° − 720° = 90°. sin 90° = 1.
Lösung ansehen
Lösung: 0,5
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Geschafft
Der Graph von sin x ist eine Welle mit Periode 360°. Er bleibt zwischen −1 und 1. Werte über 360° führst du auf Werte unter 360° zurück. Die Kosinuskurve ist dieselbe Welle, um 90° nach links verschoben.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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