Wachstum vorhersagen – und wo das Modell endet
Mit einem exponentiellen Modell kannst du Werte vorhersagen. Du prüfst, wo das Modell sinnvoll ist und wo es endet.
Das lernst du heute
- Ich sage Werte mit einem exponentiellen Modell voraus.
- Ich erkenne Grenzen des Modells.
- Ich begründe, ob ein Modell zu Messwerten passt.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Linear, quadratisch oder exponentiell?, Verdopplungszeit und Halbwertszeit
Ein Modell ist eine vereinfachte Beschreibung der Wirklichkeit. Mit f(x) = a · bˣ kannst du Werte für spätere Zeitpunkte vorhersagen.
Beispiel (ausgedacht): Eine Hefekultur bedeckt 2 cm² einer Petrischale (flache Glasschale für Versuche). Die Fläche verdoppelt sich jeden Tag: f(t) = 2 · 2ᵗ. Nach 5 Tagen sind es 64 cm².
Die Schale hat aber nur 200 cm². Nach 6 Tagen sagt das Modell 128 cm², nach 7 Tagen 256 cm². Das ist mehr, als die Schale fasst. Ab diesem Zeitpunkt passt das Modell nicht mehr. Nach 10 Tagen würde es 2 048 cm² vorhersagen. Das ist unmöglich.
Exponentielles Wachstum kann in der Wirklichkeit nicht unbegrenzt weitergehen. Es fehlen irgendwann Platz, Nahrung oder Geld. Das Modell gilt nur in einem begrenzten Bereich.
Du prüfst ein Modell so: Vergleiche Modellwerte mit Messwerten und frage, ob die Vorhersage in der Wirklichkeit möglich ist.
| Tag | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Modell in cm² | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 |
| Passt in die Schale (200 cm²)? | ja | ja | ja | ja | ja | ja | ja | nein |
Wann ist die Schale voll?
- Modell: f(t) = 2 · 2ᵗ cm².
- Tag 6: 2 · 64 = 128. Das ist noch weniger als 200.
- Tag 7: 2 · 128 = 256. Das ist mehr als 200.
- Antwort: Zwischen Tag 6 und Tag 7 wird die Schale nach dem Modell voll. Danach gilt das Modell nicht mehr.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Rechne mit dem Modell.
Frage: Geht das in der Wirklichkeit?
Schreibe auf, bis wann das Modell passt.
Ein Beispiel
Ein Gerücht verbreitet sich zuerst immer schneller. Irgendwann kennen es fast alle. Dann kann es nicht mehr schnell wachsen.
Schritt für Schritt
Wir prüfen ein Modell an Messwerten
- Modell: 100 · 2ᵗ. Werte: 100, 200, 400, 800.
- Messwerte (ausgedacht): 100, 195, 410, 790.
- Die Abweichungen sind klein.
- Das Modell passt zu den Messwerten.
Mit einem Bild erklärt
| Tag | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Modell | 100 | 200 | 400 | 800 |
| Messwert | 100 | 195 | 410 | 790 |
Zur Grundlage zurück
- Linear, quadratisch oder exponentiell? – Du hast dort die drei Wachstumsarten unterschieden.
- Verdopplungszeit und Halbwertszeit – Verdopplung hast du dort gerechnet.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Eine Hefekultur bedeckt 2 cm² und verdoppelt sich täglich. Wie viel cm² sind es nach 5 Tagen?
Zeig mir den ersten Schritt
2 · 2⁵.
Lösung ansehen
Lösung: 64
2 · 32 = 64 cm².
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Die Schale fasst 200 cm². An welchem Tag sagt das Modell f(t) = 2 · 2ᵗ erstmals mehr als 200 cm² voraus?
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne Tag 6 und Tag 7.
Lösung ansehen
Lösung: 7
Tag 6: 128 cm². Tag 7: 256 cm². Das ist mehr als 200.
Tipp: Frage bei jeder Vorhersage: Ist das Ergebnis in der Wirklichkeit möglich? Nenne den Bereich, in dem das Modell gilt.
Merksatz: Ein Modell gilt nur in einem begrenzten Bereich. Exponentielles Wachstum endet in der Wirklichkeit, wenn Platz, Nahrung oder Geld fehlen.
Typischer Fehler: Viele vertrauen jedem Funktionswert. Das Modell rechnet aber auch Unmögliches aus, zum Beispiel mehr Fläche, als die Schale hat.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: Platz, Nahrung oder Geld sind begrenzt.
Frage 2 2 000 € werden mit 10 % Zinsen pro Jahr angelegt. Wie viel Euro sind es nach 2 Jahren?
Zeig mir den ersten Schritt
Faktor 1,1. Rechne 2 000 · 1,1².
Lösung ansehen
Lösung: 2420
2 000 · 1,21 = 2 420 €.
Lösung ansehen
Lösung: 100 · 2ᵗ
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Lösung ansehen
Lösung: Das Modell gilt dort nicht mehr.
Geschafft
Exponentielle Modelle sagen Werte voraus. Sie passen nur eine Zeit lang, danach setzen Grenzen der Wirklichkeit ein.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
Übungsheft Exponentielles Wachstum
Kurz erklärt, 47 Aufgaben in drei Stufen und alle Lösungen. Kostenlos.
Das Heft ist für alle kostenlos – auch wenn gerade kein Geld dafür da ist. Wer es einrichten kann, unterstützt DYS+ Campus mit einem selbst gewählten Betrag. Freiwillig unterstützen