Rohre und Hohlzylinder
Du berechnest das Volumen von Körpern mit einem Loch.
Das lernst du heute
- Ich erkläre, was ein Hohlzylinder ist.
- Ich berechne sein Volumen als Unterschied zweier Zylinder.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Das Volumen des Zylinders, Den Flächeninhalt berechnen
Ein Rohr ist ein Hohlzylinder. Er hat einen äußeren Radius R und einen inneren Radius r. Der Unterschied R − r ist die Wandstärke. Das Material des Rohrs ist der große Zylinder ohne den kleinen. Also gilt V = π · R² · h − π · r² · h = π · (R² − r²) · h. Beispiel: R = 5 cm, r = 4 cm, h = 10 cm. Großer Zylinder: 785 cm³. Kleiner Zylinder: 502,4 cm³. Material: 282,6 cm³.
Ein Kupferrohr
- Aufgabe: Ein Rohr ist 200 cm lang. Der äußere Radius ist 6 cm, der innere 5 cm. Wie groß ist das Volumen des Materials?
- Wandstärke: 6 cm − 5 cm = 1 cm.
- R² − r² = 36 − 25 = 11.
- V = 3,14 · 11 · 200 cm³ = 6908 cm³.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Großer Zylinder.
Kleiner Zylinder abziehen.
Das bleibt als Material.
Ein Beispiel
Ein Strohhalm ist ein sehr dünnes Rohr. Sein Material ist der äußere Zylinder ohne den inneren Hohlraum.
Schritt für Schritt
Hohlzylinder berechnen
- Lies R, r und h ab. Bei Durchmessern halbiere.
- Berechne R · R und r · r.
- Ziehe ab: R² − r².
- Multipliziere mit π und mit h.
Mit einem Bild erklärt
| R | r | h | R² − r² | V = 3,14 · (R² − r²) · h |
|---|---|---|---|---|
| 5 cm | 4 cm | 10 cm | 9 | 282,6 cm³ |
| 10 cm | 8 cm | 5 cm | 36 | 565,2 cm³ |
| 6 cm | 5 cm | 200 cm | 11 | 6908 cm³ |
Zur Grundlage zurück
- Das Volumen des Zylinders – V = π · r² · h brauchst du zweimal.
- Den Flächeninhalt berechnen – Kreisring und Kreisfläche kennst du aus der Kreisberechnung.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Ein Hohlzylinder hat R = 5 cm, r = 3 cm und h = 10 cm. Wie groß ist das Volumen? Runde auf ganze cm³.
Zeig mir den ersten Schritt
R² − r² = 25 − 9.
Lösung ansehen
Lösung: 502
V = 3,14 · 16 · 10 cm³ = 502,4 cm³. Gerundet sind das 502 cm³.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Ein Hohlzylinder hat R = 10 cm, r = 9 cm und h = 10 cm. Wie groß ist das Volumen? Runde auf ganze cm³.
Zeig mir den ersten Schritt
R² − r² = 100 − 81.
Lösung ansehen
Lösung: 597
V = 3,14 · 19 · 10 cm³ = 596,6 cm³. Gerundet sind das 597 cm³.
Tipp: Du kannst auf zwei Wegen rechnen. Entweder zwei Zylinder und abziehen, oder gleich π · (R² − r²) · h. Beide Wege geben dasselbe Ergebnis. Der zweite ist kürzer.
Merksatz: Hohlzylinder: V = π · (R² − r²) · h. Wandstärke = R − r.
Typischer Fehler: Viele rechnen π · (R − r)² · h. Das ist ein anderer Wert. Quadriere erst R und r, dann ziehe ab.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Ein Hohlzylinder hat R = 10 cm, r = 8 cm und h = 5 cm. Wie groß ist das Volumen? Runde auf ganze cm³.
Zeig mir den ersten Schritt
R² − r² = 100 − 64.
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Lösung: 565
V = 3,14 · 36 · 5 cm³ = 565,2 cm³. Gerundet sind das 565 cm³.
Frage 2 Ein Rohr ist 200 cm lang, R = 6 cm und r = 5 cm. Wie groß ist das Volumen des Materials in cm³? Rechne mit π ≈ 3,14.
Zeig mir den ersten Schritt
R² − r² = 36 − 25 = 11.
Lösung ansehen
Lösung: 6908
V = 3,14 · 11 · 200 cm³ = 6908 cm³.
Zeig mir den ersten Schritt
Was ist leer, was ist Material?
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Lösung: Großer Zylinder minus kleiner Zylinder
Frage 4 Ein Rohr hat R = 6 cm und r = 5 cm. Wie dick ist die Wand in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
Wandstärke = R − r.
Lösung ansehen
Lösung: 1
6 cm − 5 cm = 1 cm.
Frage 5 Der große Zylinder eines Rohrs hat R = 5 cm und h = 10 cm. Wie groß ist sein Volumen in cm³? Rechne mit π ≈ 3,14.
Zeig mir den ersten Schritt
G = 3,14 · 25 cm².
Lösung ansehen
Lösung: 785
V = 78,5 cm² · 10 cm = 785 cm³.
Geschafft
Das Volumen eines Hohlzylinders ist das Volumen des großen Zylinders minus das Volumen des inneren Zylinders.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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