Potenzgesetze bei gleichem Exponenten
Haben zwei Potenzen denselben Exponenten, kannst du die Basen zusammenfassen: (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
Das lernst du heute
- Ich fasse Potenzen mit gleichem Exponenten zusammen.
- Ich zerlege (a · b)ⁿ in aⁿ · bⁿ.
- Ich erkenne, dass (a + b)ⁿ nicht aⁿ + bⁿ ist.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Potenzgesetze bei gleicher Basis, Potenzen: Basis und Exponent
Manchmal haben zwei Potenzen denselben Exponenten, aber verschiedene Basen. Dann helfen zwei weitere Gesetze. Viertes Gesetz: aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ. Beispiel: 2³ · 5³ = 8 · 125 = 1000 = 10³. Du kannst also erst die Basen malnehmen: 2 · 5 = 10. Fünftes Gesetz: aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ. Beispiel: 6⁴ : 3⁴ = 2⁴ = 16. Die Gesetze gelten auch rückwärts. So wird (2x)³ zu 2³ · x³ = 8x³. Aber Vorsicht bei Summen: (a + b)ⁿ ist nicht aⁿ + bⁿ. Beispiel: (2 + 3)² = 25, aber 2² + 3² = 13.
| Gesetz | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Mal | aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ | 2³ · 5³ = 10³ |
| Geteilt | aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ | 6⁴ : 3⁴ = 2⁴ |
| Rückwärts | (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ | (2x)³ = 8x³ |
4⁵ · 25⁵ geschickt rechnen
- Der Exponent ist gleich: 5.
- Basen malnehmen: 4 · 25 = 100.
- 4⁵ · 25⁵ = 100⁵.
- 100 = 10², also 100⁵ = (10²)⁵ = 10¹⁰.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Gleicher Exponent.
Basen malnehmen oder teilen.
Exponent bleibt.
Ein Beispiel
Ein Quadrat hat die Seitenlänge 2 · 5 = 10. Sein Flächeninhalt ist (2 · 5)² = 10² = 100. Genauso gilt 2² · 5² = 4 · 25 = 100.
Schritt für Schritt
Wir rechnen 2⁴ · 5⁴
- Gleicher Exponent 4.
- Basen malnehmen: 2 · 5 = 10.
- Ergebnis: 10⁴ = 10 000.
- Probe: 16 · 625 = 10 000.
Mit einem Bild erklärt
| Weg | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|
| Einzeln | 16 · 625 | 10 000 |
| Mit Gesetz | (2 · 5)⁴ = 10⁴ | 10 000 |
Zur Grundlage zurück
- Potenzgesetze bei gleicher Basis – Die Gesetze bei gleicher Basis kennst du schon.
- Potenzen: Basis und Exponent – Du brauchst den sicheren Umgang mit Potenzen.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
2⁴ · 5⁴ = 10ⁿ. Welche Zahl ist n?
Zeig mir den ersten Schritt
Der Exponent bleibt, die Basen werden malgenommen.
Lösung ansehen
Lösung: 4
2 · 5 = 10, der Exponent bleibt 4.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
12³ : 4³ = 3ⁿ. Welche Zahl ist n?
Zeig mir den ersten Schritt
Teile die Basen: 12 : 4.
Lösung ansehen
Lösung: 3
12 : 4 = 3, der Exponent bleibt 3.
Tipp: Gleicher Exponent? Dann versuche, die Basen zu einer runden Zahl zusammenzufassen, zum Beispiel 2 · 5 = 10.
Merksatz: aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ. aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ. Für Summen gibt es keine solche Regel.
Typischer Fehler: Viele schreiben (2x)³ = 2x³. Dann wird nur das x hoch 3 genommen. Richtig ist (2x)³ = 2³ · x³ = 8x³. Und (a + b)² ist nicht a² + b². Prüfe mit Zahlen: (2 + 3)² = 25, aber 4 + 9 = 13.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 2³ · 5³ = 10ⁿ. Welche Zahl ist n?
Zeig mir den ersten Schritt
Der Exponent bleibt, die Basen werden malgenommen.
Lösung ansehen
Lösung: 3
2 · 5 = 10, der Exponent 3 bleibt.
Frage 2 6⁴ : 3⁴ = 2ⁿ. Welche Zahl ist n?
Zeig mir den ersten Schritt
Teile die Basen: 6 : 3 = 2.
Lösung ansehen
Lösung: 4
Der Exponent 4 bleibt.
Lösung ansehen
Lösung: 8x³
Lösung ansehen
Lösung: (a · b)² = a² · b²
Frage 5 Berechne (3 + 4)² − (3² + 4²).
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne beide Teile einzeln: 7² und 9 + 16.
Lösung ansehen
Lösung: 24
49 − 25 = 24. Die beiden Terme sind verschieden.
Geschafft
Du fasst Potenzen mit gleichem Exponenten zusammen und erkennst Grenzen der Regeln.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
Übungsheft Potenzen und Zehnerpotenzen
Kurz erklärt, 52 Aufgaben in drei Stufen und alle Lösungen. Kostenlos.
Das Heft ist für alle kostenlos – auch wenn gerade kein Geld dafür da ist. Wer es einrichten kann, unterstützt DYS+ Campus mit einem selbst gewählten Betrag. Freiwillig unterstützen