Passt das Modell?
Ein Modell ist nur gut, wenn es zu den Messwerten passt und im sinnvollen Bereich gilt. Du prüfst beides.
Das lernst du heute
- Ich vergleiche Modellwerte mit Messwerten.
- Ich erkenne, wo ein Modell nicht mehr gilt.
- Ich begründe, ob ein Modell passt.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Linear oder quadratisch?, Wurfbahnen und Brückenbögen
Ein Modell kann Messwerte gut oder schlecht beschreiben. Du prüfst das in zwei Schritten.
Schritt 1: Vergleiche die Modellwerte mit den Messwerten. Beispiel: Die Messwerte (ausgedacht) für 5 Stellen sind 0, 1, 4, 9, 16. Das lineare Modell y = 4x − 2 liefert −2, 2, 6, 10, 14. Die Abweichungen sind groß. Das Modell y = x² liefert 0, 1, 4, 9, 16. Es passt genau.
Schritt 2: Frage, wo das Modell gilt. Der Ball h(x) = −0,25x² + 2x gilt nur für 0 ≤ x ≤ 8. Bei x = 10 liefert die Funktion h = −5. Eine Höhe von −5 m gibt es nicht, denn der Ball ist schon gelandet. Der Brückenbogen y = −0,05x² + 5 gilt nur zwischen −10 und 10.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Messwert | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
| Modell y = 4x − 2 | −2 | 2 | 6 | 10 | 14 |
| Modell y = x² | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
Modell prüfen und deuten
- Messwerte: 0, 1, 4, 9, 16.
- Modell y = 4x − 2 bei x = 3: 10. Messwert: 9. Abweichung 1.
- Modell y = x² bei x = 3: 9. Abweichung 0.
- y = x² passt besser.
- Gültigkeit: Es gibt nur Messwerte für x von 0 bis 4. Für größere x wissen wir nicht, ob das Modell passt.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Vergleiche Modellwert und Messwert.
Frage: Für welche x ist das Ergebnis sinnvoll?
Schreibe beides in den Antwortsatz.
Ein Beispiel
Ein Wetterbericht ist ein Modell. Für morgen stimmt er meist gut. Für den Sommer in zwei Jahren sagt er nichts Zuverlässiges.
Schritt für Schritt
Wir prüfen den Ball an einem Messwert
- Messwert (ausgedacht): Bei x = 6 ist der Ball 3 m hoch.
- Modell: h(6) = −9 + 12 = 3.
- Modell und Messwert stimmen überein.
- Bei x = 10 liefert das Modell −5. Das ist unsinnig.
Mit einem Bild erklärt
| x in m | 2 | 4 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Modell h(x) | 3 | 4 | 3 | −5 |
| sinnvoll? | ja | ja | ja | nein |
Zur Grundlage zurück
- Linear oder quadratisch? – Linear und quadratisch unterscheiden hast du dort geübt.
- Wurfbahnen und Brückenbögen – Das Ballmodell kennst du schon.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Für x = 3 liefert y = 4x − 2 den Wert 10. Der Messwert ist 9. Wie groß ist die Abweichung?
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne 10 − 9.
Lösung ansehen
Lösung: 1
Die Abweichung ist 1.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Welche Höhe in Metern liefert das Ballmodell h(x) = −0,25x² + 2x bei x = 10?
Zeig mir den ersten Schritt
−0,25 · 100 + 20.
Lösung ansehen
Lösung: -5
−25 + 20 = −5. Das ist unsinnig, der Ball ist schon gelandet.
Tipp: Nenne bei jedem Modell, für welchen Bereich es gelten soll. Das gehört in den Antwortsatz.
Merksatz: Ein Modell passt, wenn Modellwerte und Messwerte nahe beieinander liegen. Es gilt nur im sinnvollen Bereich.
Typischer Fehler: Viele vertrauen jedem Funktionswert. Auch ein gutes Modell kann außerhalb seines Bereichs unsinnige Werte liefern, zum Beispiel negative Höhen.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: y = x²
Lösung ansehen
Lösung: Das Modell gilt dort nicht mehr.
Lösung ansehen
Lösung: Es passt an diesen drei Stellen.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Prüfe Modelle an Messwerten und am Gültigkeitsbereich. Ein Modell ist nur ein Hilfsmittel.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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