Zusammengesetzte Körper
Du zerlegst zusammengesetzte Körper in Prismen und rechnest mit Termen.
Das lernst du heute
- Ich zerlege einen Körper in einfache Prismen.
- Ich stelle einen Term für das Volumen auf.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Prismen mit Dreieck oder Trapez als Grundfläche
Viele Körper bestehen aus mehreren Prismen. Du zerlegst sie in Teile, die du kennst. Du rechnest jedes Teil und fügst die Ergebnisse zusammen. Beispiel 1: Ein Podest hat eine L-förmige Grundfläche. Du zerlegst die Grundfläche in zwei Rechtecke: 6 · 2 = 12 und 3 · 3 = 9. G = 12 + 9 = 21 cm². Die Höhe ist 4 cm. V = 21 · 4 = 84 cm³. Der Umfang der L-Figur ist 6 + 2 + 3 + 3 + 3 + 5 = 22 cm. O = 2 · 21 + 22 · 4 = 42 + 88 = 130 cm². Beispiel 2: Ein Haus besteht aus einem Quader und einem Dach als Dreiecksprisma. Das Volumen ist die Summe beider Teile. Wird ein Stück herausgeschnitten, ziehst du dessen Volumen ab.
Haus aus Quader und Dach
- Aufgabe: Ein Haus ist ein Quader (6 m lang, 4 m breit, 3 m hoch) mit einem Dach. Das Dach ist ein Dreiecksprisma. Die Dreiecksgrundseite ist 6 m, die Dreieckshöhe 2 m, die Länge des Dachs ist 4 m. Berechne das Volumen.
- Quader: 6 · 4 · 3 = 72 m³.
- Dach: G = 6 · 2 : 2 = 6 m². V = 6 · 4 = 24 m³.
- Zusammen: 72 + 24 = 96 m³.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Körper zerlegen.
Teilvolumen berechnen.
Addieren oder abziehen.
Ein Beispiel
Ein Sockel aus zwei Quadern wie eine Treppe. Du berechnest jeden Quader einzeln. Beide Volumen zusammen sind das Volumen des Sockels.
Schritt für Schritt
Eine L-Figur als Grundfläche
- Zerlege die L-Figur in zwei Rechtecke.
- Berechne die Flächen und addiere: G.
- Rechne V = G · h.
- Für O brauchst du außerdem den Umfang der L-Figur.
Mit einem Bild erklärt
| Teil | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|
| Rechteck unten | 6 · 2 | 12 |
| Rechteck oben | 3 · 3 | 9 |
| G | 12 + 9 | 21 |
| V bei h = 4 | 21 · 4 | 84 |
Zur Grundlage zurück
- Prismen mit Dreieck oder Trapez als Grundfläche – Dreieck und Trapez als Grundfläche hast du schon gerechnet.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Ein Körper besteht aus zwei Quadern. Der erste misst 4 cm · 3 cm · 2 cm, der zweite 2 cm · 3 cm · 2 cm. Wie groß ist das Gesamtvolumen in cm³?
Zeig mir den ersten Schritt
Berechne jeden Quader einzeln.
Lösung ansehen
Lösung: 36
4 · 3 · 2 = 24 und 2 · 3 · 2 = 12. 24 + 12 = 36 cm³.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Ein Haus besteht aus einem Quader (5 m · 4 m · 2 m) und einem Dach. Das Dach ist ein Dreiecksprisma mit g = 4 m, Dreieckshöhe 3 m und Länge 5 m. Wie groß ist das Gesamtvolumen in m³?
Zeig mir den ersten Schritt
Quader: 5 · 4 · 2. Dach: G = 4 · 3 : 2, dann mal 5.
Lösung ansehen
Lösung: 70
Quader 40 m³. Dach 6 · 5 = 30 m³. Zusammen 70 m³.
Tipp: Zerlege den Körper so, dass du nur Quader und Prismen hast. Mache eine Skizze und schreibe die Maße an jedes Teil. Dann addierst du oder subtrahierst du die Volumen. Beispiel für einen Term: Eine Säule mit quadratischer Grundfläche (Seite a) und Höhe 2a hat V = a² · 2a = 2 · a³. Für a = 3 ist V = 54.
Merksatz: Zusammengesetzter Körper: in Prismen zerlegen, die Volumen addieren. Herausgeschnittene Teile subtrahieren.
Typischer Fehler: Viele addieren auch bei der Oberfläche einfach alle Teile. Dabei zählen die Flächen, an denen die Teile zusammenstoßen, nicht zur Oberfläche. Beim Volumen ist das kein Problem.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Zeig mir den ersten Schritt
Mit welchen Körpern kannst du schon rechnen?
Lösung ansehen
Lösung: Ich zerlege ihn in einfache Prismen und addiere die Volumen.
Frage 2 Eine Säule hat die quadratische Grundfläche mit der Seite a = 3 cm und die Höhe 2a. Wie viel ergibt V = a² · 2a in cm³?
Zeig mir den ersten Schritt
Setze a = 3 ein: 3² · 6.
Lösung ansehen
Lösung: 54
3² = 9. 2 · 3 = 6. 9 · 6 = 54 cm³.
Frage 3 Aus einem Quader (6 cm · 4 cm · 3 cm) wird ein kleiner Quader (2 cm · 2 cm · 3 cm) herausgeschnitten. Wie groß ist das Restvolumen in cm³?
Zeig mir den ersten Schritt
Berechne beide Volumen und ziehe ab.
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Lösung: 60
72 − 12 = 60 cm³.
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Lösung: Stimmt
Frage 5 Das L-Prisma hat G = 21 cm², u = 22 cm und h = 4 cm. Wie groß ist die Oberfläche in cm²?
Zeig mir den ersten Schritt
2 · G = 42. Mantel: 22 · 4.
Lösung ansehen
Lösung: 130
42 + 88 = 130 cm².
Geschafft
Ein zusammengesetzter Körper wird in einfache Prismen zerlegt. Die Teilvolumen werden addiert, herausgeschnittene Teile abgezogen.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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