Die zweite Formel: Differenz im Quadrat
(a − b)² = a² − 2ab + b². Das mittlere Glied hat ein Minus, das letzte nicht.
Das lernst du heute
- Ich wende die zweite Formel an.
- Ich achte auf die Vorzeichen.
- Ich unterscheide sie von der dritten Formel.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Die erste Formel mit Faktoren
Die zweite Formel lautet (a − b)² = a² − 2ab + b². Das mittlere Glied bekommt ein Minus. Das letzte Glied b² bleibt positiv, weil ein Quadrat nie negativ ist. Beispiel (3x − 4)²: a = 3x, b = 4. Dann a² = 9x², 2ab = 24x und b² = 16. Ergebnis: 9x² − 24x + 16. Steht die Zahl vorn, wie bei (5 − 2y)², bleibt die Regel gleich: a = 5, b = 2y. Ergebnis: 25 − 20y + 4y². Zur Kontrolle: Bei x = 1 gilt (3 − 4)² = 1 und 9 − 24 + 16 = 1.
| a | b | a² | −2ab | b² | |
|---|---|---|---|---|---|
| (3x − 4)² | 3x | 4 | 9x² | −24x | 16 |
| (5 − 2y)² | 5 | 2y | 25 | −20y | 4y² |
Mit Zahl vorn
- Aufgabe: (5 − 2y)².
- a = 5, b = 2y.
- a² = 25. 2ab = 2 · 5 · 2y = 20y, mit Minus: −20y.
- b² = 4y².
- Ergebnis: 25 − 20y + 4y².
- Probe mit y = 1: (5 − 2)² = 9 und 25 − 20 + 4 = 9.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Mitte: Vorzeichen der Klammer.
Ende: immer plus.
Probe mit einer Zahl.
Ein Beispiel
Ein Quadrat mit der Seite x − 4 entsteht aus einem Quadrat mit der Seite x. Du schneidest rechts und unten je einen Streifen mit der Fläche 4x ab. Dabei ziehst du das kleine Eckquadrat 4 · 4 = 16 zweimal ab. Es kommt einmal wieder dazu: x² − 8x + 16.
Schritt für Schritt
Wir rechnen (3x − 4)²
- a = 3x, b = 4.
- a² = 9x².
- 2ab = 2 · 3x · 4 = 24x, mit Minus: −24x.
- b² = 16.
- Ergebnis: 9x² − 24x + 16.
Mit einem Bild erklärt
| a² | −2ab | b² |
|---|---|---|
| 9x² | −24x | 16 |
Zur Grundlage zurück
- Die erste Formel mit Faktoren – Die erste Formel hast du gerade geübt.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Lösung ansehen
Lösung: 9x² − 24x + 16
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Lösung ansehen
Lösung: x² − 12x + 36
Tipp: Merke: Das mittlere Glied bekommt das Vorzeichen der Klammer. Das letzte Glied ist immer plus.
Merksatz: (a − b)² = a² − 2ab + b². Mitte minus, Ende plus.
Typischer Fehler: Viele schreiben (a − b)² = a² − b². Das ist falsch. Setze a = 5, b = 2: (5 − 2)² = 9, aber 25 − 4 = 21.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: 25x² − 20x + 4
Lösung ansehen
Lösung: 25 − 20y + 4y²
Frage 3 Wie groß ist (3x − 4)² für x = 2?
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne (3 · 2 − 4)².
Lösung ansehen
Lösung: 4
(6 − 4)² = 4. Ebenso 36 − 48 + 16 = 4.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Frage 5 Löse (x − 1)² auf. Welche Zahl steht vor x?
Zeig mir den ersten Schritt
2ab = 2 · x · 1, mit Minus.
Lösung ansehen
Lösung: -2
−2x.
Geschafft
Du wendest die zweite binomische Formel sicher an.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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