Zylinder im Alltag schätzen und berechnen
Du löst Aufgaben aus dem Alltag, schätzt zuerst und bewertest dein Ergebnis.
Das lernst du heute
- Ich entnehme die Maße aus einer Sachsituation.
- Ich schätze, berechne und bewerte das Ergebnis.
- Ich berechne Teilkörper und zusammengesetzte Körper.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Das Volumen des Zylinders, Mantel und Oberfläche, Rohre und Hohlzylinder
In Sachaufgaben musst du die Maße oft erst finden. Prüfe: Ist ein Durchmesser oder ein Radius gegeben? Ist der Umfang gegeben? Ist der Zylinder aufgestellt oder liegt er? Rechne danach in einer Einheit. Schätze zuerst mit π ≈ 3 und gerundeten Zahlen. Dann rechnest du genau. Beide Ergebnisse sollten ähnlich sein. Teilkörper sind zum Beispiel ein halber Zylinder oder ein Zylinder ohne einen Teil. Zusammengesetzte Körper zerlegst du in Zylinder und Quader.
| Situation | Gegeben | Gesucht |
|---|---|---|
| Regentonne | d = 60 cm, h = 80 cm | Wie viele Liter? |
| Säule streichen | d = 4 dm, h = 30 dm | Mantelfläche |
| Baumstamm | u = 94,2 cm, Länge 200 cm | Volumen |
Die Regentonne
- Aufgabe: Eine Regentonne hat den Durchmesser 60 cm und ist 80 cm hoch. Wie viele Liter passen hinein?
- Radius: r = 60 cm : 2 = 30 cm.
- Schätzung: 3 · 30 · 30 · 80 = 216 000 cm³, das sind 216 l.
- Genau: V = 3,14 · 30 · 30 · 80 cm³ = 226 080 cm³. Das sind etwa 226 l.
- Die Schätzung ist etwas kleiner, weil 3 kleiner als 3,14 ist. Das Ergebnis ist plausibel.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Maße finden.
Erst schätzen, dann genau rechnen.
Ergebnis prüfen.
Ein Beispiel
Du überlegst, wie viel Wasser in eine Regentonne passt. Eine Tonne mit etwa 60 cm Durchmesser und 80 cm Höhe fasst grob ein Viertel Kubikmeter.
Schritt für Schritt
Eine Sachaufgabe lösen
- Lies, welche Maße gegeben sind. Ist es d, r oder u?
- Wandle in eine Einheit um.
- Schätze mit π ≈ 3.
- Rechne genau und vergleiche mit der Schätzung.
Mit einem Bild erklärt
| Aufgabe | Schätzung | Genau |
|---|---|---|
| Regentonne, r = 30 cm, h = 80 cm | 216 l | 226 l |
| Dose, r = 3 cm, h = 12 cm | 324 ml | 339 ml |
Zur Grundlage zurück
- Das Volumen des Zylinders – Du kennst das Volumen.
- Mantel und Oberfläche – Du kennst den Mantel.
- Rohre und Hohlzylinder – Teilkörper und Hohlzylinder hast du schon gesehen.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Ein Futtertrog ist ein halber Zylinder mit r = 2 dm und einer Länge von 10 dm. Wie viele Liter passen hinein? Runde auf ganze Liter.
Zeig mir den ersten Schritt
Ein ganzer Zylinder hätte V = 3,14 · 2 · 2 · 10 dm³. Nimm die Hälfte.
Lösung ansehen
Lösung: 63
Ganzer Zylinder: 125,6 dm³. Hälfte: 62,8 dm³. Das sind etwa 63 l.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Ein Baumstamm hat den Umfang 94,2 cm und ist 200 cm lang. Wie groß ist sein Volumen in dm³? Runde auf ganze dm³.
Zeig mir den ersten Schritt
Aus dem Umfang: d = 94,2 : 3,14 = 30 cm, also r = 15 cm.
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Lösung: 141
V = 3,14 · 15 · 15 · 200 cm³ = 141 300 cm³. 1000 cm³ = 1 dm³, also etwa 141 dm³.
Tipp: Bei der Schätzung mit π ≈ 3 wird das Ergebnis immer etwas zu klein. Der Unterschied zum genauen Wert beträgt nur etwa 5 %. Damit kannst du ein Ergebnis gut bewerten.
Merksatz: Sachaufgabe: Maße finden, Einheit prüfen, schätzen, genau rechnen, Ergebnis bewerten.
Typischer Fehler: Viele vergessen, den Durchmesser zu halbieren. Dann wird das Volumen viermal so groß. Eine Schätzung zeigt den Fehler sofort.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Frage 1 Eine Säule hat r = 2 dm und h = 30 dm. Sie wird rundherum gestrichen, ohne Boden und Deckel. Wie groß ist die Fläche in dm²? Runde auf ganze dm².
Zeig mir den ersten Schritt
Es zählt nur der Mantel: 2 · 3,14 · 2 · 30.
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Lösung: 377
M = 376,8 dm². Gerundet sind das 377 dm².
Frage 2 Ein Hocker besteht aus einem Quader (6 cm · 6 cm · 2 cm) und einem Zylinder darauf (r = 2 cm, h = 5 cm). Wie groß ist das Gesamtvolumen? Runde auf ganze cm³.
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne beide Teile einzeln.
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Lösung: 135
Quader: 72 cm³. Zylinder: 3,14 · 4 · 5 cm³ = 62,8 cm³. Zusammen 134,8 cm³, gerundet 135 cm³.
Zeig mir den ersten Schritt
Schätze: 3 · 9 · 12 = 324 cm³.
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Lösung: Sie fasst etwa 0,34 Liter.
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Lösung: Stimmt
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Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
In Sachaufgaben ermittelst du erst die Maße, schätzt dann mit π ≈ 3 und rechnest danach genau. Du bewertest das Ergebnis und gibst eine passende Einheit an.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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