Vom Graphen zum Term
Aus dem Scheitelpunkt und einem weiteren Punkt bestimmst du den Funktionsterm einer Parabel.
Das lernst du heute
- Ich lese den Scheitelpunkt einer Parabel ab.
- Ich bestimme a mit einem zweiten Punkt.
- Ich schreibe den Funktionsterm auf und mache die Probe.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Die Scheitelpunktform mit Software erkunden, Vom Graphen zum Term
Du kennst den Scheitelpunkt (d|e) einer Parabel. Dann steht fast der ganze Term fest: y = a · (x − d)² + e. Nur a fehlt noch.
Dafür brauchst du einen zweiten Punkt, den du im Graphen ablesen kannst. Setze seine Koordinaten in den Term ein. Dann löst du die Gleichung nach a auf.
Beispiel: Der Scheitelpunkt ist (2|1) und der Graph geht durch (3|3). Der Term beginnt mit y = a(x − 2)² + 1. Mit x = 3 und y = 3 folgt 3 = a · 1² + 1, also a = 2.
a bestimmen
- Scheitelpunkt (2|1): y = a(x − 2)² + 1.
- Punkt (3|3) einsetzen: 3 = a · (3 − 2)² + 1.
- Rechnen: 3 = a · 1 + 1, also 3 = a + 1.
- Das gibt a = 2.
- Term: y = 2(x − 2)² + 1.
- Probe mit dem Spiegelpunkt (1|3): 2 · (1 − 2)² + 1 = 3. Stimmt.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Schritt 1: Scheitelpunkt in den Term einsetzen.
Schritt 2: Zweiten Punkt einsetzen.
Schritt 3: Nach a lösen.
Ein Beispiel
Ein Hügel hat die Form einer Parabel. Du kennst seinen Gipfel und einen Punkt am Hang. Daraus berechnest du, wie steil der Hügel ist.
Schritt für Schritt
Wir bestimmen den Term bei Scheitelpunkt (0|−3) und Punkt (2|1)
- Term: y = a(x − 0)² − 3 = a · x² − 3.
- Einsetzen von (2|1): 1 = a · 2² − 3.
- 1 = 4a − 3, also 4 = 4a.
- a = 1.
- Term: y = x² − 3.
Mit einem Bild erklärt
| Scheitelpunkt | Zweiter Punkt | a | Term |
|---|---|---|---|
| (2|1) | (3|3) | 2 | y = 2(x − 2)² + 1 |
| (−1|4) | (1|0) | −1 | y = −(x + 1)² + 4 |
| (0|−3) | (2|1) | 1 | y = x² − 3 |
Zur Grundlage zurück
- Die Scheitelpunktform mit Software erkunden – Die Scheitelpunktform kennst du aus der Lektion davor.
- Vom Graphen zum Term – Bei Geraden hast du Graph und Term schon verbunden.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Scheitelpunkt (1|2), Punkt (3|10). Bestimme a in y = a(x − 1)² + 2.
Zeig mir den ersten Schritt
Setze x = 3 ein: 10 = a · 2² + 2.
Lösung ansehen
Lösung: 2
10 = 4a + 2, also 8 = 4a und a = 2.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Scheitelpunkt (0|−3), Punkt (2|1). Bestimme a in y = a · x² − 3.
Zeig mir den ersten Schritt
Setze x = 2 und y = 1 ein.
Lösung ansehen
Lösung: 1
1 = 4a − 3, also a = 1.
Tipp: Setze zuerst x, dann y ein. Rechne die Klammer vor dem Quadrat aus.
Merksatz: Scheitelpunkt (d|e) und ein Punkt (x|y): in y = a(x − d)² + e einsetzen und nach a lösen.
Typischer Fehler: Viele setzen x und y falsch herum ein oder vergessen das Vorzeichen in der Klammer. Bei Scheitelpunkt (−1|4) steht (x + 1)² in der Klammer.
Mini-Quiz
4 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: y = −(x + 1)² + 4
Frage 2 Scheitelpunkt (2|1), Punkt (3|3). Bestimme a.
Zeig mir den ersten Schritt
3 = a · 1² + 1.
Lösung ansehen
Lösung: 2
a = 2.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt
Lösung ansehen
Lösung: (2|1)
Geschafft
Mit Scheitelpunkt und einem weiteren Punkt bestimmst du a. Dann kennst du den Term.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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