Die dritte Formel: Summe mal Differenz
(a + b) · (a − b) = a² − b². Die mittleren Glieder heben sich auf.
Das lernst du heute
- Ich erkenne Summe mal Differenz derselben Zahlen.
- Ich wende die dritte Formel an.
- Ich unterscheide sie von der zweiten Formel.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Die zweite Formel: Differenz im Quadrat
Die dritte Formel lautet (a + b) · (a − b) = a² − b². Sie gilt nur, wenn die beiden Klammern dieselben Glieder haben, einmal mit Plus und einmal mit Minus. Beispiel (x + 7) · (x − 7): a = x, b = 7. Das ergibt x² − 49. Die mittleren Glieder 7x und −7x heben sich auf. Mit Faktoren: (3x + 2) · (3x − 2) = 9x² − 4. Nicht jede Summe mal Differenz passt. Bei (x + 3) · (x − 5) sind die Zahlen verschieden. Hier musst du normal ausmultiplizieren: x² − 2x − 15.
| Aufgabe | a | b | a² − b² |
|---|---|---|---|
| (x + 7) · (x − 7) | x | 7 | x² − 49 |
| (3x + 2) · (3x − 2) | 3x | 2 | 9x² − 4 |
| (x + 3) · (x − 5) | — | — | keine Formel, x² − 2x − 15 |
Formel anwenden
- Aufgabe: (5a − 4b) · (5a + 4b).
- Gleiche Glieder: 5a und 4b. Eine Klammer mit Plus, eine mit Minus.
- a = 5a, b = 4b.
- a² = 25a², b² = 16b².
- Ergebnis: 25a² − 16b².
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Beide Klammern gleich bis aufs Vorzeichen?
Dann: a² minus b².
Keine Mitte.
Ein Beispiel
Du rechnest 21 · 19. Das ist (20 + 1) · (20 − 1) = 400 − 1 = 399. Ein Zahlenbeispiel zur Formel.
Schritt für Schritt
Wir rechnen (3x + 2) · (3x − 2)
- Gleiche Glieder: 3x und 2.
- a = 3x, b = 2.
- a² = 9x². b² = 4.
- Ergebnis: 9x² − 4.
Mit einem Bild erklärt
| a² | − | b² |
|---|---|---|
| 9x² | − | 4 |
Zur Grundlage zurück
- Die zweite Formel: Differenz im Quadrat – Die zweite Formel kennst du jetzt.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Lösung ansehen
Lösung: x² − 49
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
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Lösung: 9x² − 4
Tipp: Prüfe vor dem Anwenden: Sind die Glieder in beiden Klammern gleich? Nur das Vorzeichen in der Mitte ist verschieden?
Merksatz: (a + b) · (a − b) = a² − b². Gleiche Glieder, Plus und Minus. Das Ergebnis hat keine Mitte.
Typischer Fehler: Viele wenden die Formel auch bei (x + 3) · (x − 5) an. Dort stehen verschiedene Zahlen. Es entsteht x² − 2x − 15.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: (2x + 5) · (2x − 5)
Lösung ansehen
Lösung: 25a² − 16b²
Frage 3 Rechne 21 · 19 mit (20 + 1) · (20 − 1). Wie viel ist es?
Zeig mir den ersten Schritt
20² − 1².
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Lösung: 399
400 − 1 = 399.
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Lösung: Stimmt nicht
Frage 5 Löse (x + 4) · (x − 4) auf und setze x = 5 ein. Wie viel ist das?
Zeig mir den ersten Schritt
x² − 16 mit x = 5.
Lösung ansehen
Lösung: 9
25 − 16 = 9.
Geschafft
Du wendest die dritte binomische Formel sicher an.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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