Der Inkreis eines Dreiecks
Du findest den Mittelpunkt des Inkreises mit den Winkelhalbierenden und bestimmst den Radius.
Das lernst du heute
- Ich konstruiere den Inkreis eines Dreiecks.
- Ich unterscheide Inkreis und Umkreis.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst eine dieser Lektionen: Die Winkelhalbierende konstruieren, Abstände messen
Die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt I. Dieser Punkt liegt immer im Innern des Dreiecks. Er hat von allen drei Seiten denselben Abstand r. Der Kreis um I mit dem Radius r berührt alle drei Seiten von innen. Er heißt Inkreis. Den Radius misst du senkrecht von I auf eine Seite. Konstruktion: 1. Konstruiere zwei Winkelhalbierende. Ihr Schnittpunkt ist I. 2. Fälle von I das Lot auf eine Seite. Der Fußpunkt ist der Berührpunkt. 3. Zeichne den Kreis um I durch den Fußpunkt. Beispiel: A(0|0), B(4|0), C(0|3). Hier liegt I bei (1|1) und r = 1. Das Dreieck hat die Fläche 4 · 3 : 2 = 6, der Umfang ist 12. Es gilt r = Fläche : halber Umfang = 6 : 6 = 1. Der Grund: Die Strecken von I zu den Ecken zerlegen das Dreieck in drei Teildreiecke. Jedes hat eine Dreiecksseite als Grundseite und r als Höhe. Zusammen ist die Fläche also Umfang · r : 2.
Inkreisradius im rechtwinkligen Dreieck
- Aufgabe: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 6 cm und 8 cm und die Hypotenuse 10 cm. Wie groß ist der Inkreisradius?
- Fläche: 6 · 8 : 2 = 24 cm². Halber Umfang: (6 + 8 + 10) : 2 = 12 cm.
- r = Fläche : halber Umfang = 24 : 12 = 2 cm.
- Kurzformel für rechtwinklige Dreiecke: r = (a + b − c) : 2 = (6 + 8 − 10) : 2 = 2 cm.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Winkelhalbierende schneiden sich in I.
I liegt im Innern.
r ist der Abstand zu den Seiten.
Ein Beispiel
Du legst einen runden Teller in eine dreieckige Schachtel, sodass er alle drei Wände berührt. Der Teller liegt im Inkreis.
Schritt für Schritt
Inkreis konstruieren
- Konstruiere zwei Winkelhalbierende.
- Der Schnittpunkt ist I.
- Fälle von I das Lot auf eine Seite.
- Zeichne den Kreis um I durch den Fußpunkt.
Mit einem Bild erklärt
| Dreieck (a, b, c) | Fläche | halber Umfang | r |
|---|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 6 | 6 | 1 |
| 6, 8, 10 | 24 | 12 | 2 |
| 5, 12, 13 | 30 | 15 | 2 |
Zur Grundlage zurück
- Die Winkelhalbierende konstruieren – Der Inkreismittelpunkt kommt von den Winkelhalbierenden.
- Abstände messen – Abstände misst du senkrecht.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 3 cm und 4 cm und die Hypotenuse 5 cm. Wie groß ist der Inkreisradius in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne r = (a + b − c) : 2.
Lösung ansehen
Lösung: 1
(3 + 4 − 5) : 2 = 1 cm.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Seiten 6 cm, 8 cm und 10 cm. Wie groß ist der Inkreisradius in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
Fläche durch halben Umfang.
Lösung ansehen
Lösung: 2
24 : 12 = 2 cm.
Tipp: Merke: Umkreis und Inkreis sind verschieden. Der Umkreis geht durch die Ecken. Der Inkreis berührt die Seiten. Der Umkreismittelpunkt kommt von den Mittelsenkrechten, der Inkreismittelpunkt von den Winkelhalbierenden.
Merksatz: Inkreis: Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden. Der Radius ist der senkrechte Abstand zu den Seiten. Rechtwinklig mit Katheten a, b und Hypotenuse c: r = (a + b − c) : 2.
Typischer Fehler: Viele messen den Radius von I zu einer Ecke. Der Radius des Inkreises ist der Abstand von I zu einer Seite, gemessen senkrecht auf die Seite.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Zeig mir den ersten Schritt
Winkelhalbierende gehen von den Ecken ins Innere.
Lösung ansehen
Lösung: Immer im Innern des Dreiecks
Lösung ansehen
Lösung: Winkelhalbierende
Frage 3 Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Seiten 5 cm, 12 cm und 13 cm. Wie groß ist der Inkreisradius in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
(a + b − c) : 2.
Lösung ansehen
Lösung: 2
(5 + 12 − 13) : 2 = 2 cm.
Frage 4 Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Seiten 8 cm, 15 cm und 17 cm. Wie groß ist der Inkreisradius in cm?
Zeig mir den ersten Schritt
(a + b − c) : 2.
Lösung ansehen
Lösung: 3
(8 + 15 − 17) : 2 = 3 cm.
Lösung ansehen
Lösung: Stimmt nicht
Geschafft
Der Inkreis berührt alle drei Seiten. Sein Mittelpunkt liegt im Schnittpunkt der Winkelhalbierenden und immer im Innern.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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