Die Periode: f(x) = sin(b · x)
Der Faktor b im Inneren staucht oder dehnt die Welle in der Breite. Er bestimmt die Periode.
Das lernst du heute
- Ich berechne die Periode aus b mit 360° : b.
- Ich lese Amplitude und Periode aus f(x) = a · sin(b · x) ab.
- Ich beschreibe einen Vorgang mit einer Sinusfunktion.
Das brauchst du schon: Vielleicht hilft dir zuerst diese Lektion: Die Amplitude: f(x) = a · sin x
Multiplizierst du den Winkel x mit einer Zahl b, ändert sich die Breite der Welle: f(x) = sin(b · x). Bei b = 2 durchläuft die Funktion ihre Welle doppelt so schnell. Die Periode wird halb so lang: 360° : 2 = 180°.
Allgemein gilt für positive b: Die Periode von f(x) = sin(b · x) ist 360° : b. Ein größeres b bedeutet eine kürzere Periode. Ein kleineres b dehnt die Welle.
Beide Faktoren zusammen: f(x) = a · sin(b · x) hat die Amplitude |a| und die Periode 360° : b. Beispiel: Bei einem Riesenrad ist die Höhe einer Gondel über der Radmitte h(t) = 10 · sin(30 · t) mit t in Minuten. Negative Werte bedeuten: unter der Mitte. Die Amplitude ist 10 m. Die Periode ist 360 : 30 = 12 Minuten.
| b | 1 | 2 | 3 | 4 | 0,5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Periode 360° : b | 360° | 180° | 120° | 90° | 720° |
Eigenschaften von f(x) = 3 · sin(2x)
- Amplitude: |a| = 3.
- Periode: 360° : 2 = 180°.
- f(45°) = 3 · sin 90° = 3. Das ist der Höchstwert.
- f(90°) = 3 · sin 180° = 0.
- f(135°) = 3 · sin 270° = −3. Das ist der Tiefstwert.
Ich verstehe das noch nicht
Such dir aus, was dir hilft.
Noch einfacher erklärt
Die Zahl b vor dem x macht die Welle schmaler oder breiter.
Die Periode ist 360° geteilt durch b.
Größeres b heißt kürzere Periode.
Ein Beispiel
Zwei Töne: Beim höheren Ton schwingt die Luft öfter pro Sekunde. Die Periode ist kürzer. In der Funktion entspricht das einem größeren b.
Schritt für Schritt
Wir bestimmen die Periode von f(x) = sin(4x)
- Hier ist b = 4.
- Periode = 360° : 4 = 90°.
- Probe: sin(4 · 90°) = sin 360° = 0. Der Anfangswert kehrt zurück.
Mit einem Bild erklärt
| b | Periode 360° : b |
|---|---|
| 2 | 180° |
| 3 | 120° |
| 4 | 90° |
| 6 | 60° |
Zur Grundlage zurück
- Die Amplitude: f(x) = a · sin x – Die Amplitude kennst du schon.
Jetzt zusammen
Wir lösen die Aufgabe gemeinsam. Nutze die Hilfen, wenn du sie brauchst.
Wie groß ist die Periode von f(x) = sin(3x) in Grad?
Zeig mir den ersten Schritt
Teile 360° durch b.
Lösung ansehen
Lösung: 120
360 : 3 = 120.
Jetzt du
Jetzt probierst du es allein.
Wie groß ist b, wenn f(x) = sin(b · x) die Periode 60° hat?
Zeig mir den ersten Schritt
360° : b = 60°.
Lösung ansehen
Lösung: 6
b = 360 : 60 = 6.
Tipp: Bei sin(b · x) setzt du zuerst b · x ein und berechnest dann den Sinus dieses Winkels.
Merksatz: f(x) = a · sin(b · x): Amplitude |a|, Periode 360° : b.
Typischer Fehler: Viele meinen, ein größeres b mache die Periode länger. Es ist umgekehrt. Mit größerem b läuft die Welle schneller. Die Periode ist 360° : b, also kürzer.
Mini-Quiz
5 kurze Fragen, ohne Noten. Bei jeder Frage kannst du dir die Lösung ansehen.
Lösung ansehen
Lösung: 720°
Frage 2 Wie groß ist f(30°) für f(x) = 2 · sin(3x)?
Zeig mir den ersten Schritt
Rechne 3 · 30° = 90°.
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Lösung: 2
f(30°) = 2 · sin 90° = 2.
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Lösung: Stimmt nicht
Frage 4 Bei einem Riesenrad ist h(t) = 10 · sin(30 · t) mit t in Minuten. Wie viele Minuten dauert eine Periode?
Zeig mir den ersten Schritt
Periode = 360 : b mit b = 30.
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Lösung: 12
360 : 30 = 12 Minuten.
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Lösung: Amplitude 5, Periode 180°
Geschafft
Bei f(x) = a · sin(b · x) steuert a die Höhe und b die Breite der Welle. Die Periode ist 360° : b.
Kannst du das schon?
Hake ab, was du schon kannst. Was noch fehlt, schaust du dir einfach noch einmal an.
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